Поворотная гомотетия. Часть II

Появление велосипедистов

В предыдущей заметке мы установили очень важное утверждение: если мы хотим перевести отрезок \(AB\) (красный) в отрезок \(A'B'\) (синий) поворотной гомотетией (точка \(A\) переходит в \(A'\), а \(B\) — в \(B'\)), то можно сделать, например, следующее. Найти точку пересечения \(X'\) прямых \(AA'\) и \(BB'\), далее найти вторую точку пересечения \(O\) описанных окружностей треугольников \(ABX'\) и \(A'B'X'\), и точка \(O\) окажется центром искомой поворотной гомотетии. (В качестве альтернативы, в силу утверждения про точку Микеля, можно было бы искать точку пересечения \(X\) прямых \(AB\) и \(A'B'\) и пересекать окружности \(AA'X\) и \(BB'X\), но нас сейчас будет интересовать именно первый способ.)

Видим, что на самом деле полученная поворотная гомотетия совмещает не просто отрезки \(AB\) и \(A'B'\), а целиком окружности, описанные около треугольников \(OAB\) и \(OA'B'\), при этом \(O\) неподвижная точка, а совмещаются в точности пары точек \(C\) и \(C'\) таких, что \(CC'\) проходит через \(X'\).

Трактовать это утверждение можно следующим образом. Если по окружностям из точки \(O\) запустить против часовой стрелке двух велосипедистов с одинаковыми угловыми скоростями, то прямая, их соединяющая, обязательно будет проходить через вторую точку пересечения \(X'\) окружностей.

Конечно, это утверждение легко установить подсчетом углов, пристально вглядевшись в картинку:

Много подобных треугольников

Если \(O\) — центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок \(AB\) в отрезок \(A'B'\), то он же и центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок \(AA'\) в отрезок \(BB'\), в частности, треугольники \(OAA'\) и \(OBB'\) подобны. Или, привлекая велосипедистов, можем заключить, что все треугольники, одна из вершин которых находится в точке \(O\), а две других в синхронном положении велосипедистов, попарно подобны. Можно воспринимать это и так: все углы \(\angle AOA'\) одинаковые (угол поворотной гомотетии) и все отношения \(\frac{OA'}{OA}\) одинаковые (коэффициент поворотной гомотетии). В частности, это означает, что все треугольники вида \(OAA'\) не просто подобны между собой, но и подобны треугольнику \(OZZ'\), где \(Z\) — центр окружности по которой едет первый велосипедист, а \(Z'\) — центр траектории движения второго велосипедиста.

Траектории движения соответственных точек

Теперь более или менее понятно как будут устроены геометрические места соответственных точек в треугольниках \(OAA'\). Если мы выберем какую-нибудь точку, скажем, центр вписанной окружности, то он должен двигаться по окружности, проходящей через \(O\), а центром этой окружности, конечно же должен быть центр окружности, вписанной в треугольник \(OZZ'\). Все это связано с тем, что поворотная гомотетия с центром в точке \(O\) совмещающая два положения велосипедистов \(A\), \(A'\) с \(B\), \(B'\) совмещает и все соответственные точки треугольников.

Траектория движения середины отрезка между велосипедистами

Мы подобрались к самому интересному. Давайте проследим за траекторией движения середины отрезка, соединяющего велосипедистов. Из сделанных наблюдений следует, что середина \(M\) отрезка \(AA'\) движется по окружности, проходящей через точку \(O\). При этом центр этой окружности есть ни что иное, как середина отрезка \(ZZ'\). Ясно, что тогда эта окружность, в частности, проходит и через вторую точку пересечения \(X'\) исходных окружностей.

Лемма о велосипедистах

Утверждение, которое называется леммой о велосипедистах состоит в том, что на плоскости есть точка, все время равноудаленная от велосипедистов. Это равносильно тому, что серединные перпендикуляры к отрезкам \(AA'\) все время проходят через одну точку. Это очевидно! Они проходят через точку \(V\), диаметрально противоположную точке \(X'\) в построенной выше окружности, являющейся геометрическим местом точек \(M\).

Эту точку можно исходя из построения определить иначе: точка симметричная точке \(X'\) относительно середины отрезка \(ZZ'\), то есть четырехугольник \(X'Z'VZ\) должен быть параллелограммом, а \(OVZZ'\) — равнобокой трапецией. В частности, угол \(\angle VOX'\) оказывается прямым.