Элементарное доказательство теоремы Фейербаха

Начнем с формулировки теоремы Фейербаха.

Теорема Фейербаха.

Для неравностороннего треугольника окружность девяти точек касается вписанной окружности.

Как доказывать касание?

В задачах на касание окружностей очень часто возникает одна и та же ситуация: касание надо доказать, но сама точка касания в формулировке не фигурирует. Первый шаг в решениях таких задач обычно не вычислительный, а эвристический — нужно угадать, где именно две окружности должны коснуться. Когда правильная точка найдена, дальше нередко остается лишь погоня за углами.

Именно поэтому в таких задачах так полезны точки с богатой «циклической природой». Типичный пример — точка Микеля: через нее проходит сразу много окружностей, а значит, она автоматически дает большое количество равенств углов. В теореме Фейербаха, однако, самый удобный путь устроен немного иначе. Вместо того чтобы сразу угадывать будущую точку касания, мы сначала найдем вспомогательную точку, которая одновременно связана и с вписанной окружностью, и с окружностью девяти точек.

Пусть в треугольнике \(ABC\) вписанная окружность имеет центр \(I\) и касается сторон \(BC\), \(CA\) и \(AB\) в точках \(D\), \(E\) и \(F\) соответственно. Обозначим через \(M\), \(N\) и \(K\) середины соответствующих сторон, а окружности девяти точек и вписанную через \(\Omega\) и \(\omega\) соответственно.

Как догадаться до вспомогательной точки? Раз на рисунке уже есть несколько середин, естественно попробовать добавить еще одну середину. Оказывается очень хорошей точкой, раскрывающей множество связей конфигурации, являяется середина \(J\) отрезка \(AI\).

Почему точка \(J\) так хороша?

Во-первых, \(J\) — центр вписанной окружности треугольника \(ANK\). Действительно, треугольник \(ANK\) гомотетичен треугольнику \(ABC\) с центром в \(A\) и коэффициентом \(1/2\): точка \(B\) переходит в \(K\), а точка \(C\) — в \(N\). Точка \(J\) — образ точки \(I\) и поэтому является центром вписанной окружности треугольника \(ANK\).

Во-вторых, \(J\) — это центр описанной окружности четырехугольника \(AEIF\), поскольку треугольники \(AEI\) и \(AFI\) прямоугольные и имеют общую гипотенузу \(AI\).

Рассмотрим две естественные вспомогательные окружности: \[ \omega_1 = (JNE), \qquad \omega_2 = (JKF). \] Обозначим через \(\Phi \neq J\) их вторую точку пересечения. Мы покажем, что это и есть точка касания окружности девяти точек и вписанной окружности — точка Фейербаха.

Далее для простоты будем считать, что сторона \(BC\) треугольника наименьшая, тогда расположение точек на сторонах соответствует нашим чертежам. В общем случае можно проводить рассуждение в направленных углах.

Точка \(\Phi\) лежит на вписанной окружности

Пользуясь вписанностями четырехугольников \(JNE\Phi\) и \(JKF\Phi\), выводим равенства \[ \angle F\Phi E=\angle F\Phi J+\angle J\Phi E=\angle JKA+\angle JNA=\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}=\angle FDI+\angle EDI=\angle FDE, \] что и дает нужную принадлежность \(\Phi\in \omega\).

Точка \(\Phi\) лежит на окружности девяти точек

Снова используем те же вписанности \[ \angle N\Phi K=\angle N\Phi J+\angle J\Phi K=\angle AEJ+\angle JFA=\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}=\angle NMK, \] и получим, что \(\Phi\in \Omega\).

Почему окружности касаются в точке \(\Phi\)?

Итак, мы установили, что точка \(\Phi\) лежит и на вписанной окружности, и на окружности девяти точек. Остается доказать, что в точке \(\Phi\) у этих окружностей одна и та же касательная. Это легко выразить в терминах углов треугольников \(\Phi KN\) и \(\Phi FE\), а именно должно быть выполнено следующее равенство:

\[ \angle K\Phi F=\angle KN\Phi - \angle FE\Phi. \]

В этом равенстве легко избавиться от точки \(\Phi\), перекинув все углы в точку \(J\). С правой частью поступим следующим образом. Заметим, что \(\angle JN\Phi=\angle JE\Phi\), поэтому разность в правой части выражается так: \[ \angle JNK + \angle KN\Phi = \angle JEF + \angle FE\Phi \,\, \Rightarrow \,\, \angle KN\Phi - \angle FE\Phi = \angle JEF- \angle JNK. \]

Угол же в левой части просто равен \(\angle KJF\). Поэтому достаточно проверить равенство \[ \angle KJF=\angle JEF- \angle JNK. \]

Все три угла в этом равенстве выражаются через углы треугольника \(ABC\):

• поскольку \(J\) — центр описанной окружности \(AEF\):

  \[ \angle JEF = 90^\circ-\alpha; \]

• поскольку \(J\) — центр вписанной окружности \(AKN\):

  \[ \angle JNK= \frac{\gamma}{2}; \]

• аналогичные наблюдения приводят к равенству:

  \[ \angle KJF=\angle AJF-\angle AJK= (180^\circ-\alpha) - (90^\circ+\frac{\gamma}{2})=\angle JEF - \angle JNK. \]

Следует отметить, что последнее доказанное равенство равносильно тому, что окружности \((JKN)\) и \((JFE)\) касаются в точке \(J\).

Вместо заключения

Все доказательство базируется на одной правильно выбранной точке — середине \(J\) отрезка \(AI\). На первый взгляд это просто «еще одна середина» в картинке, где середин и так уже много. Но именно в ней соединяются два основных геометрических объекта теоремы: геометрия вписанной окружности и геометрия окружности девяти точек, что приводит к изящному и элементарному доказательству.