Про двойное отношение

Вступление

Сегодня поговорим про двойное отношение четырёх точек: зачем оно нужно, откуда появляется и как несколько простых фактов о нём помогают решать геометрические задачи. Для этого не потребуется заранее знать проективную геометрию — необходимые идеи мы построим по дороге.

Начнём с вопроса, который естественно возникает при счёте отрезков. Когда отношение можно перенести с одной прямой на другую? И что делать, если привычные отношения при таком переносе меняются?

От обычных отношений к двойному

Два случая, когда отношение сохраняется

Теорема Фалеса позволяет переносить отношения отрезков с одной прямой на другую с помощью параллельного проектирования. Через точки \(A\), \(B\), \(C\) проводятся параллельные прямые; их пересечения со второй прямой обозначаются \(A'\), \(B'\), \(C'\). Тогда

\[ \frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}. \]

Есть и другой знакомый случай. Если прямые \(ABC\) и \(A'B'C'\) параллельны, то центральная проекция из точки \(O\) тоже сохраняет отношения: это следует из подобия треугольников. Здесь соответствующие точки лежат на прямых, проходящих через один центр \(O\).

Но при центральном проектировании на непараллельную прямую обычное отношение уже не обязано сохраняться. Давайте выясним, во сколько раз оно меняется.

Что даёт теорема синусов

Пусть \(A\), \(B\), \(C\) лежат на одной прямой, а \(A'\), \(B'\), \(C'\) — их проекции из \(O\) на другую прямую. Сначала разберём расположение, показанное на рисунке: \(B\) лежит между \(A\) и \(C\), а соответствующие точки находятся на одних лучах из \(O\).

Обозначим углы при \(A\) и \(C\) треугольника \(AOC\) через \(\alpha\) и \(\gamma\), а углы при \(A'\) и \(C'\) треугольника \(A'OC'\) — через \(\alpha'\) и \(\gamma'\). Луч \(OB=OB'\) делит угол при \(O\) на части \(\beta_1\) и \(\beta_2\).

По теореме синусов

\[ \frac{AB}{OB}=\frac{\sin\beta_1}{\sin\alpha}, \qquad \frac{BC}{OB}=\frac{\sin\beta_2}{\sin\gamma}, \]

а также

\[ \frac{A'B'}{OB'}=\frac{\sin\beta_1}{\sin\alpha'}, \qquad \frac{B'C'}{OB'}=\frac{\sin\beta_2}{\sin\gamma'}. \]

Следовательно,

\[ \frac{AB}{BC} =\frac{\sin\beta_1}{\sin\beta_2}\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}, \qquad \frac{A'B'}{B'C'} =\frac{\sin\beta_1}{\sin\beta_2}\frac{\sin\gamma'}{\sin\alpha'}. \]

Итак, при проекции отношение \(AB/BC\) умножается на

\[ \frac{\sin\gamma'}{\sin\alpha'}\frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}. \]

Самое существенное здесь — этот множитель не зависит от промежуточного луча \(OB\). Он определяется крайними лучами \(OA\), \(OC\) и двумя секущими.

Поэтому, если взять ещё одну точку \(D\) на прямой \(AC\), то отношения \(AB/BC\) и \(AD/DC\) изменятся в одинаковое число раз. Значит, их частное останется прежним.

Двойное отношение без учёта знака.

Для четырёх различных точек одной прямой положим

\[ (A,C;B,D)=\frac{AB}{BC}:\frac{AD}{DC}. \]

Эта величина сохраняется при центральном проектировании, когда все участвующие точки и их образы конечны.

Если расположение точек отличается от рассмотренного, в рассуждении появляются дополнительные углы или меняется порядок точек. Для длин результат остаётся тем же. Чуть ниже введём направленные отрезки, которые позволяют учитывать все эти изменения единообразно.

На анимации четыре луча неподвижны, а одна из секущих движется. Отдельные отношения меняются, но двойное отношение остаётся одним и тем же.

Направленные отрезки: зачем нужен знак

Есть небольшая неприятность. По точке \(B\) на прямой \(AC\) можно вычислить \(AB/BC\), но по этому положительному отношению точка обычно восстанавливается неоднозначно: одно решение лежит внутри отрезка \(AC\), другое — снаружи. Например, условию \(AB/BC=2\) удовлетворяют две точки.

Чтобы их различать, удобно учитывать направление. Выберем на прямой положительное направление и обозначим через \(\overline{UV}\) направленную длину отрезка \(UV\): она положительна, если направление от \(U\) к \(V\) совпадает с выбранным, и отрицательна в противном случае. В координатах это просто \(v-u\).

Теперь рассмотрим

\[ \frac{\overline{AB}}{\overline{CB}}. \]

Обратите внимание на порядок букв: оба отрезка заканчиваются в \(B\). Если \(B\) лежит внутри \(AC\), направления \(AB\) и \(CB\) противоположны и отношение отрицательно. Если \(B\) лежит вне \(AC\), отношение положительно.

В этой анимации точки неподвижны: по очереди появляются стрелки, которые поясняют знак. Черта в формулах и стрелка на рисунке служат одной цели — учитывают направление отрезка.

Пусть координаты \(A\), \(B\), \(C\) равны \(a\), \(b\), \(c\). Тогда

\[ \frac{\overline{AB}}{\overline{CB}}=\frac{b-a}{b-c}. \]

Если это отношение равно \(k\ne1\), то

\[ b=\frac{kc-a}{k-1}. \]

Таким образом, точка восстанавливается однозначно. Значение \(k=1\) при \(a\ne c\) не получается ни для какой конечной точки. Мы скоро увидим, какая точка ему соответствует.

Двойное отношение с учётом знака.

Для четырёх различных точек одной прямой определим

\[ [A,C;B,D] =\frac{\overline{AB}}{\overline{CB}} :\frac{\overline{AD}}{\overline{CD}} =\frac{(b-a)(d-c)}{(b-c)(d-a)}. \]

В дальнейшем под двойным отношением будем понимать именно эту величину и обозначать её квадратными скобками.

Его модуль равен ранее введённому двойному отношению длин. Знак отрицателен, если ровно одна из точек \(B\), \(D\) находится внутри \(AC\).

Теорема. Двойное отношение с учётом знака сохраняется при центральном проектировании.

В доказательстве через теорему синусов нужно учитывать направленные углы и направленные отрезки. Есть и короткая координатная проверка. Центральная проекция задаёт на прямых дробно-линейную зависимость

\[ x'=\frac{px+q}{rx+s},\qquad ps-qr\ne0. \]

Для двух конечных образов

\[ x'-y'=\frac{(ps-qr)(x-y)}{(rx+s)(ry+s)}. \]

Если подставить четыре такие разности в формулу двойного отношения, все дополнительные множители сократятся. Оговорку о нулевых знаменателях сейчас разберём геометрически.

Бесконечно удалённая точка

У центральной проекции есть особенность, которую до сих пор мы обходили. Пусть проецирование идёт из \(O\) с прямой \(\ell\) на прямую \(\ell'\). Если \(OB\) параллельна \(\ell'\), то обычной точки пересечения нет.

Проследим за образом \(B'\) при приближении \(B\) к этому положению. Точка \(B'\) удаляется всё дальше и дальше. После перехода через особое положение она появляется с другой стороны прямой.

Удобно дополнить каждую прямую одной бесконечно удалённой точкой. Два направления ухода по одной прямой ведут к одной и той же добавленной точке. Образ точки \(B\) в особом положении обозначим \(\infty_{\ell'}\).

Есть и обратное исключение: прямая через \(O\), параллельная \(\ell\), пересекает \(\ell'\) в точке, которая не является образом никакой конечной точки \(\ell\). Будем считать её образом \(\infty_\ell\). После такого дополнения центральная проекция становится взаимно однозначным соответствием двух прямых, если центр не лежит ни на одной из них.

Вернёмся к отношению направленных отрезков. При \(b\to\infty\)

\[ \frac{b-a}{b-c}\longrightarrow1. \]

Именно бесконечно удалённой точке соответствует недостающее значение \(k=1\). В двойных отношениях получаем, например,

\[ [A,C;B,\infty]=\frac{\overline{AB}}{\overline{CB}}, \qquad [\infty,C;B,D]=\frac{\overline{CD}}{\overline{CB}}. \]

Это определения по пределу, а не буквальные вычисления с бесконечными длинами. С ними теорема о сохранении двойного отношения продолжает работать.

Несколько правил переписывания

Перечислим свойства, которыми будем пользоваться. Предполагается, что двойные отношения определены, а исходные четыре точки попарно различны.

Свойство 1. Для конечных точек \([A,C;B,D]<0\) тогда и только тогда, когда ровно одна из точек \(B\), \(D\) лежит внутри \(AC\).

Свойство 2. Перестановка точек в одной паре заменяет двойное отношение обратным:

\[ [A,C;B,D]=\frac1{[A,C;D,B]} =\frac1{[C,A;B,D]}. \]

Свойство 3. Перестановка двух пар не меняет двойного отношения:

\[ [A,C;B,D]=[B,D;A,C]. \]

Свойство 4. При фиксированных различных \(A\), \(C\), \(B\) значение двойного отношения однозначно определяет четвёртую точку, если она существует. В частности,

\[ [A,C;B,D]=[A,C;B,E]\quad\Longrightarrow\quad D=E. \]

Действительно, равенство даёт одинаковое направленное отношение \(\overline{AD}/\overline{CD}\) и \(\overline{AE}/\overline{CE}\), а оно однозначно задаёт точку на дополненной прямой.

Свойство 5. Выполнено полезное равенство

\[ [A,C;B,D]+[A,B;C,D]=1. \]

Для конечных точек оно проверяется приведением к общему знаменателю:

\[ \frac{(b-a)(d-c)}{(b-c)(d-a)} +\frac{(c-a)(d-b)}{(c-b)(d-a)}=1. \]

Если одна из точек бесконечно удалена, достаточно перейти к пределу. Из этих правил, например, следует, что перестановками четырёх точек из значения \(\lambda\) можно получить только

\[ \lambda,\quad \frac1\lambda,\quad 1-\lambda,\quad \frac1{1-\lambda},\quad \frac{\lambda}{\lambda-1},\quad \frac{\lambda-1}{\lambda}. \]

Некоторые значения в этом списке могут совпадать. Для четырёх различных точек \(\lambda\) не равно ни \(0\), ни \(1\).

Первое применение — теорема Паппа

Самое характерное применение двойных отношений — творческое использование свойства 4. Чтобы доказать совпадение двух точек, можно провести цепочку проекций, которая возвращается на исходную прямую и оставляет три точки на ней неподвижными. Тогда четвёртая тоже обязана вернуться на своё место.

Теорема Паппа.

На двух прямых выбраны по три точки \(A,B,C\) и \(A',B',C'\). Обозначим

\[ D=AB'\cap A'B,\qquad E=AC'\cap A'C,\qquad F=BC'\cap B'C. \]

Тогда точки \(D,E,F\) лежат на одной прямой.

Разберём невырожденное расположение, в котором используемые пересечения определены. Введём вспомогательные точки

\[ X=AC\cap A'C',\qquad Y=A'B\cap B'C,\qquad Z=AB'\cap A'C, \]

и положим \(E'=DF\cap CA'\). Нужно доказать \(E=E'\).

Первая проекция — из точки \(A\)

Проецируем прямую \(CA'\) на \(A'C'\) из центра \(A\). Получаем соответствие

\[ (C,E,Z,A')\ \xrightarrow{\ A\ }\ (X,C',B',A'). \]

Например, \(C\) переходит в \(X\), потому что \(AC\cap A'C'=X\), а \(E\) переходит в \(C'\), поскольку \(A,E,C'\) лежат на одной прямой. Точка \(A'\) остаётся на месте. Здесь и дальше порядок точек в четвёрках существенен.

Движущиеся красные метки показывают, какая исходная точка в какую конечную переходит. Двойные отношения сравниваются на исходной и конечной секущих.

Вторая проекция — из точки \(B\)

Теперь проецируем \(A'C'\) на \(CB'\) из центра \(B\):

\[ (X,C',B',A')\ \xrightarrow{\ B\ }\ (C,F,B',Y). \]

Здесь \(X\) переходит в \(C\), \(C'\) — в \(F\), точка \(B'\) остаётся на месте, а \(A'\) переходит в \(Y\).

Третья проекция — из точки \(D\)

Наконец, проецируем \(CB'\) на исходную прямую \(CA'\) из центра \(D\):

\[ (C,F,B',Y)\ \xrightarrow{\ D\ }\ (C,E',Z,A'). \]

Действительно, \(F\) переходит в \(E'\) по определению \(E'\). Прямая \(DB'\) совпадает с \(AB'\) и встречает \(CA'\) в \(Z\). Прямая \(DY\) совпадает с \(BA'\) и встречает \(CA'\) в \(A'\).

Все три проекции сохраняют двойное отношение. Значит,

\[ [C,A';Z,E]=[C,A';Z,E']. \]

Три точки \(C,A',Z\) совпадают в обеих записях, поэтому по свойству 4 совпадают и \(E,E'\). Теорема Паппа доказана.

Параллельность некоторых вспомогательных прямых обрабатывается введением бесконечно удалённых точек. Другие предельные расположения, в которых формулировка сохраняет смысл, получаются из общего положения переходом к пределу.

Гармонические четвёрки

Теперь выделим одно особенно важное значение двойного отношения.

Гармоническая четвёрка.

Пары различных точек \((A,C)\) и \((B,D)\) одной прямой образуют гармоническую четвёрку, если

\[ [A,C;B,D]=-1. \]

Для конечных точек это означает, что

\[ \frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}, \]

причём ровно одна из точек \(B,D\) лежит внутри \(AC\). Перестановка точек внутри любой пары или перестановка самих пар сохраняет гармоничность, поскольку \((-1)^{-1}=-1\). Но произвольно менять распределение точек по парам нельзя.

Почему же четвёрка называется гармонической? Введём координаты с началом в \(A\). Если координаты \(B,C,D\) равны \(b,c,d\), то

\[ \frac{b}{b-c}:\frac{d}{d-c}=-1 \quad\Longleftrightarrow\quad 2bd=c(b+d). \]

При \(b+d\ne0\) это даёт

\[ c=\frac{2bd}{b+d}=\frac{2}{1/b+1/d}. \]

При положительных \(b,d\) перед нами привычное среднее гармоническое. Формула работает и для направленных координат. Если \(b+d=0\), соответствующая точка \(C\) бесконечно удалена.

Основной пример: Чева и Менелай

Пусть чевианы \(AD\), \(BE\), \(CF\) треугольника \(ABC\) пересекаются в одной точке \(P\). Предположим сначала, что \(P\) лежит внутри треугольника, а прямая \(EF\) пересекает \(BC\) в конечной точке \(D'\).

Утверждение 1. В этой конфигурации

\[ [B,C;D,D']=-1. \]

По теореме Чевы

\[ \frac{BD}{DC}=\frac{BF}{FA}\frac{AE}{EC}. \]

По теореме Менелая для секущей \(FED'\),

\[ \frac{BD'}{D'C}=\frac{BF}{FA}\frac{AE}{EC}. \]

Значит, отношения длин равны. Но \(D\) лежит внутри \(BC\), а \(D'\) — снаружи, поэтому направленные отношения имеют противоположные знаки. Это и даёт \([B,C;D,D']=-1\).

Тот же результат получается для других невырожденных расположений из направленных форм теорем Чевы и Менелая. Если \(EF\parallel BC\), то \(D'=\infty\) и \(D\) — середина \(BC\).

Две проекции — ещё две гармонические четвёрки

Положим \(G=AD\cap EF\). Спроецируем исходную четвёрку из \(A\) на \(EF\):

\[ (B,C,D,D')\ \xrightarrow{\ A\ }\ (F,E,G,D'). \]

Отсюда \([F,E;G,D']=-1\). Затем проецируем эту четвёрку из \(C\) на \(AD\):

\[ (F,E,G,D')\ \xrightarrow{\ C\ }\ (P,A,G,D). \]

Получаем \([P,A;G,D]=-1\), или, переставив точки внутри обеих пар,

\[ [A,P;D,G]=-1. \]

Так из одной конфигурации получаются сразу несколько полезных гармонических четвёрок. В задачах часто достаточно распознать одну из них и выбрать удачный центр проектирования.

Окружность Аполлония

Если \([A,C;B,D]=-1\), то \(B\) и \(D\) имеют одинаковое отношение расстояний до \(A\) и \(C\). Оказывается, этим свойством обладает целая окружность.

Утверждение 2. Для конечной гармонической четвёрки \([A,C;B,D]=-1\) окружность с диаметром \(BD\) является окружностью Аполлония точек \(A,C\):

\[ \frac{AX}{CX}=\frac{AB}{CB}=\frac{AD}{CD} \]

для любой точки \(X\) этой окружности.

Это можно непосредственно проверить в координатах. Положим \(A=(0,0)\), \(C=(c,0)\), а общее положительное отношение обозначим через \(k\). Условие \(AX/CX=k\) равносильно

\[ x^2+y^2=k^2\bigl((x-c)^2+y^2\bigr). \]

При \(k\ne1\) это окружность с центром на \(AC\). Она пересекает \(AC\) в точках \(B,D\), поэтому \(BD\) — её диаметр. При \(k=1\) геометрическое место вырождается в серединный перпендикуляр к \(AC\); в гармонической четвёрке этому отвечает бесконечно удалённая точка.

В изображённой конфигурации \(B\) находится внутри \(AC\), а \(D\) — снаружи. По теоремам о внутренней и внешней биссектрисах прямые \(XB\) и \(XD\) являются биссектрисами внутреннего и внешнего углов \(AXC\). В частности, \(XB\perp XD\). Это согласуется с тем, что \(X\) лежит на окружности с диаметром \(BD\).

Бесконечность превращается в середину

Очень полезный частный случай возникает, когда одна из точек гармонической четвёрки бесконечно удалена. Из

\[ [\infty,C;B,D] =\frac{\overline{CD}}{\overline{CB}}=-1 \]

следует, что \(C\) — середина \(BD\).

Утверждение 3. Гармоническая четвёрка с бесконечно удалённой точкой — это, в указанном порядке пар, две конечные точки и их середина.

Вернёмся к треугольнику с чевианами. Мы уже знаем, что \([A,P;D,G]=-1\), где \(G=AD\cap EF\). Проведём через \(A\) прямую, параллельную \(BC\), и обозначим её пересечение с \(BG\) через \(X\). Пусть \(Y=XP\cap BC\).

При проекции из \(X\) на \(BC\) имеем

\[ A\mapsto\infty,\qquad P\mapsto Y,\qquad D\mapsto D,\qquad G\mapsto B. \]

Поэтому \([\infty,Y;D,B]=-1\), и \(Y\) — середина \(BD\). Задача на середину отрезка решилась выбором проекции, которая отправляет одну точку в бесконечность.

Гармонический пучок и теорема Бланше

Двойное отношение четырёх прямых

За определением двойного отношения всё время стояли четыре прямые через один центр. Поэтому естественно дать им собственное определение.

Двойное отношение пучка.

Пусть четыре различные прямые \(XA,XC,XB,XD\) проходят через \(X\), а \(A,C,B,D\) — их пересечения с секущей, не проходящей через \(X\). Положим

\[ [XA,XC;XB,XD]=[A,C;B,D]. \]

Выбор секущей на результат не влияет. Если это значение равно \(-1\), пучок называется гармоническим.

Выражение через синусы, которое уже появлялось в начале статьи, теперь приобретает вид

\[ [XA,XC;XB,XD] =\frac{\sin\angle AXB}{\sin\angle BXC} :\frac{\sin\angle AXD}{\sin\angle DXC}. \]

Здесь углы направленные. Можно выбрать ориентирующий вектор на каждой из четырёх прямых и измерять поворот от первого луча ко второму; замена направления любого вектора меняет знаки двух синусов, и итоговое отношение не меняется.

Утверждение 4. Если пучок \([XA,XC;XB,XD]\) гармонический и \(XB\perp XD\), то \(XB,XD\) — две биссектрисы углов, образованных прямыми \(XA,XC\).

Для невырожденного треугольника \(AXC\) одна из них является внутренней, другая — внешней. Это следует из картины с окружностью Аполлония: при пересечении пучка секущей \(AC\) получаем гармоническую четвёрку, а прямой угол \(BXD\) помещает \(X\) на окружность с диаметром \(BD\).

Теорема Бланше

Теорема Бланше.

В остроугольном треугольнике \(ABC\) на высоте \(AD\) выбрана точка \(P\) внутри отрезка \(AD\). Прямые \(BP\) и \(CP\) пересекают стороны \(AC\) и \(AB\) в точках \(E\) и \(F\). Тогда \(AD\) — биссектриса угла \(EDF\).

В формулировке уже видна подсказка: прямые \(DA\) и \(DB\) перпендикулярны. Осталось включить их в подходящий гармонический пучок.

Положим \(D'=EF\cap BC\) и \(Q=DF\cap BE\). Исходная гармоническая четвёрка \([B,C;D,D']=-1\) при проекции из \(F\) на \(BE\) переходит в

\[ [B,P;Q,E]=-1. \]

Посмотрим на эту четвёрку из \(D\). Получим

\[ [DB,DA;DF,DE]=-1. \]

Переставляя пары и точки внутри пар, можем записать это как \([DE,DF;DA,DB]=-1\). Поскольку \(DA\perp DB\), прямые \(DA,DB\) — биссектрисы углов между \(DE\) и \(DF\). Луч \(DA\) лежит внутри угла \(EDF\), значит, он и есть его внутренняя биссектриса.

Условия в формулировке выбраны так, чтобы речь шла именно о внутренней биссектрисе и о точках на сторонах. Для других расположений аналогичное утверждение удобно формулировать для прямых и направленных углов.

Двойное отношение на окружности

Формула через синусы позволяет сделать ещё один шаг. Пусть \(A,B,C,D\) — четыре различные точки окружности. Возьмём на ней пятую точку \(X\) и положим

\[ [A,C;B,D]_\omega=[XA,XC;XB,XD]. \]

Выбор \(X\) несущественен: вписанные углы, опирающиеся на одну хорду, равны по модулю \(180^\circ\). При переходе между дугами возможные изменения знаков синусов сокращаются в двойном отношении.

Есть и точная формула, которая сразу учитывает знак. Если \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\) — угловые координаты точек \(A,B,C,D\) на окружности, то

\[ [A,C;B,D]_\omega =\frac{\sin\frac{\beta-\alpha}{2}\, \sin\frac{\delta-\gamma}{2}} {\sin\frac{\beta-\gamma}{2}\, \sin\frac{\delta-\alpha}{2}}. \]

Замена любой угловой координаты на неё же плюс \(2\pi\) не меняет результата. Поэтому формула не зависит от выбранных представителей углов.

Утверждение 5. Центральная проекция с прямой на окружность сохраняет двойное отношение, если центр \(X\) лежит на окружности и не лежит на исходной прямой: каждой точке прямой сопоставляется второе пересечение соединяющей её с \(X\) прямой с окружностью.

Действительно, обе четвёрки определяют один и тот же пучок из центра \(X\). В обычной формулировке исключаем касательную в \(X\), а в предельном смысле её образ — сама точка \(X\).

Отсюда возникают вписанные гармонические четырёхугольники: четвёрки на окружности с двойным отношением \(-1\). Если вершины \(A,B,C,D\) идут в этом порядке по окружности, то

\[ [A,C;B,D]_\omega=-\frac{AB\cdot CD}{BC\cdot DA}. \]

Следовательно, в таком порядке гармоничность равносильна простому равенству произведений длин сторон:

\[ AB\cdot CD=BC\cdot DA. \]

Свойство гармонического четырёхугольника.

Пусть касательные к окружности в противоположных вершинах \(A,C\) вписанного четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(T\). Четырёхугольник гармонический тогда и только тогда, когда \(T\) лежит на прямой, содержащей другую диагональ \(BD\).

Проекция гармонического четырёхугольника

Теперь получим из этого свойства ещё одну гармоническую четвёрку на прямой.

Проведём из внешней точки \(A\) касательные \(AU\) и \(AV\) к окружности. Пусть секущая из \(A\) встречает окружность в точках \(B,D\), а хорду касания \(UV\) — в точке \(C\).

Утверждение 6. Если все четыре точки различны, то \([A,C;B,D]=-1\).

Четырёхугольник \(UBVD\) гармонический: касательные в его противоположных вершинах \(U,V\) пересекаются в точке \(A\), лежащей на прямой другой диагонали \(BD\).

Спроецируем этот четырёхугольник из \(U\) на прямую \(BD\):

\[ (U,V,B,D)\ \xrightarrow{\ U\ }\ (A,C,B,D). \]

Для точки \(U\) используем предельное направление — касательную \(UA\), поэтому её образ есть \(A\). Точка \(V\) переходит в \(C\) по прямой \(UV\), а \(B,D\) остаются на месте. Проекция сохраняет двойное отношение, поэтому

\[ [A,C;B,D]=[U,V;B,D]_\omega=-1. \]